Teorema 6.26

Enunciado

Sean $X$ e $Y$ espacios topológicos. Fijando los puntos $x_0\in X$, $y_0\in Y$, se tiene que:

Demostración

Sean $p:X\times Y\to X$ proyección y $q:X\times Y\to Y$ igual. Como $p,q$ son aplicaciones continuas entonces inducen homomorfismos entre los grupos fundamentales

Consideremos la aplicación^[1] $\mathrm{\Phi }:{\pi }_1(X\times Y,x_0\times y_0)\to {\pi }_1(X,x_0)\times {\pi }_1(Y,y_0)$. Entonces

La demostración consiste en ver que $\mathrm{\Phi }$ isomorfismo:

• $\mathrm{\Phi }$ es sobreyectiva.
• El núcleo de $\mathrm{\Phi }$ es trivial (inyectividad).

1. Tomamos un lazo ${\gamma }_1$ en $X$ centrado en $x_0$, así como ${\gamma }_2$ en $Y$ centrado en $y_0$. Buscamos $[\alpha ]\in {\pi }_1(X\times Y,x_0\times y_0)$ tal que $\mathrm{\Phi }([\alpha ])=[{\gamma }_1]\times [{\gamma }_2]$. Basta tomar $\alpha (s)={\gamma }_1\times {\gamma }_2=({\gamma }_1(s),{\gamma }_2(s))$.

2. Supongamos que $\alpha$ es un lazo en $x_0\times y_0$ y $\mathrm{\Phi }([\alpha ])$ es la clase trivial^[2]. Esto implica que $p\circ \alpha {\sim }_p{ϵ}_{x_0}$ y $q\circ \alpha {\sim }_p{ϵ}_{y_0}$. Así, sean $G$ y $H$ las correspondientes homotopías. Entonces definimos $F(x,t)=G(x,t)\times H(x,t)$ que es homotopía entre $\alpha$ y ${ϵ}_{x_0\times y_0}$.